Lemma

二つの正方形AB,BCがあり，DBがBEと同一直線上にあるようにする。
そのときFBもBGと同一直線上にある。そして平行四辺形ACが完成されたとする。

ここで，ACは正方形であり，DBはAB,BCの 比例中項さらにDCはAC,CBの比例中項であることを示す。

DBはBFと等しいので，BEとBGも等しい。 よって，全体のDEと全体のFGも等しい。

ここでDEは直線AH，KCのそれぞれと等しい。そしてFGは直線AKとHCと等しい。
よって，AH,KCはAK,HCと等しい。 �T.34

よって，平行四辺形ACは等辺形である。そして長方形でもある。
よってACは正方形である。

FBがBGに対するようにDBもBEに対する。 一方FBがBGに対するようにABがDGに対する。
そしてDBがBEに対するようにDGがBCに対する。 よってABがDGに対するように，DGがBCに対する。 �Y.1 �Y.11

よって，DGはABとBCの比例中項である。

つぎに，DCもACとCBの比例中項であることを示す。

ADがDKに対するようにKGはGCに対し，それぞれは等しいので あわせたAKに対するKDはKCがCGに対するのと等しい。 �X.18

一方AKがKDに対するようにACがCDに対する。 そしてKCがCGに対するようにDCがCBに対する。
よってACがDCに対するようにDCがBCに対する。 �Y.1 �Y.11

よって，DCはAC，CBの比例中項である。

命題54

有理線分と第一の二項線分で作られる面積ならば，
その時，その面積と等しい 正方形の一辺は無理線分で二項線分とよばれる。

面積ACは有理線分ABと第一の二項線分ADでつくられているとする。

ACと同じ面積の正方形の一辺が二項線分と 呼ばれる無理線分であることを示す。

ADは第一の二項線分であるので，Eで分割される。 そしてAEのほうが大きいとする。

そのときAEとEDは平方においてのみ 通約可能でAEの正方形はEDの正方形より AEと通約可能な直線上の正方形だけ大きく。
AEは有理線分ABと長さにおいて通約可能であることは明らかである。 �].Def,�U.1

EDをFでに等分する。

このとき，AEの正方形はEDの正方形より AEと通約可能な直線上の正方形だけ大きい。

よって，もし大きいほうAE上に，小さいほうの線分上の正方形の四分の一， つまりEF上の正方形に等しく正方形だけ欠けている平行四辺形が あるならば， その時それを通約可能な部分に分ける。 �].17

AE上にEF上の正方形と等しい長方形AG，GEがあるとする。

そのときAGはEGと長さにおいて通約可能である。

G,E,Fからそれぞれ直線AB，CDと平行なGH,EK,FLを描く。

平行四辺形AHに等しい正方形SNが作られ， GKに等しい正方形NQが作られたとする。

MNがNOと同一直線上になるようにし， またRNもNPと同一直線上になるようにする。
そして平行四辺形SQが完成し，SQは正方形である。 �U.4

ここで長方形AG，GEは正方形EFと等しいので， AGがEFに対するようにFEがEGに対する。 �Y.17

よって，AHがELに対するようにELがKGに対する。
よって，ELはAHとGKの比例中項である。 �Y.1

ここで，AHとSNは等しくGKとNQも等しいので， ELはSNとNGの比例中項である。
しかし，MRも同じSNとNQの比例中項である。

よってELとMRは等しく,つまりPOにも等しい。

ここで，AHとGKもSNとNGに等しい。
よって全体のACは全体のSQと等しい。つまり,それはMO上の正方形と等しく MOはACと同じ面積の正方形の一辺となる。

次にMOが二項線分であることを示す。

AGはGEと通約可能であるので AEもAG,GEのそれぞれと通約可能である。 �].15

ここで，AEも仮定よりABと通約可能よって， AGとGEもABと通約可能である。
そしてABは有理,よって，AG,GEも有理である。 �].12

よって,長方形AH.GKも有理でAHはGKと通約可能である。 �].19

しかし，AHはSNと等しくGKはNQと等しい,よって，SNとNQの和 つまり，MN上,NO上の正方形は有理で,通約可能である。

AEはEDと長さにおいて通約不可能。一方AEはAGと通約可能。

そしてDEはEFと通約可能。
よってAGもEFと通約不可能でAHもELと通約不可能である。 �].13 �Y.1 �].11

しかしAHはSNとELはMRと等しいので,SNもMRと通約不可能。
しかし，SNがMRに対するようにPNがNRに対するのでPNはNRと通約不可能。
しかしPNはMNとNRはNOと等しい。よって，MNはNOと通約不可能。 �Y.1 �].11

そしてMN上の正方形はNO上の正方形と 通約可能で,それぞれが有理である。

よって，MNとNOは平方においてのみ通約可能な有理線分である。

よって，MOはACと等しい正方形の一辺である二項線分である。 �].36